НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" АПРОКСИМАЦІЯ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ МЕТОДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ І н с т р у к ц і я до лабораторної роботи з курсу "Числові методи і моделювання на ЕОМ, ч.1" Львів 2009 АПРОКСИМАЦІЯ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ МЕТОДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ Мета роботи: вивчення і програмна реалізація алгоритмів побудови апроксимуючих залежностей методом найменших квадратів. Одержання навиків програмування і роботи в середовищах Сі. ОСНОВНІ ВІДОМОСТІ Нехай в результаті вимірювань в процесі експериментальних досліджень одержана таблиця залежності функції f від аргументу х: Таблиця №1 х х1 х2 … хn  f(x) y1 y2 … yn  Треба знайти формулу, яка виражає цю залежність аналітично. Поставимо задачу так: знайти функцію заданого вигляду: y= f(x), (1) яка в точках х1, х2, ..., хn приймає значення якнайближче до табличних значень y1, y2,..., yn, але яка одночасно враховує характер експериментально знайденої функції. Практично вигляд наближеної функції f(x) можна визначити наступним способом. За таблицею 1 будують точковий графік функції f(x), а відтак проводять плавну криву, яка відображає характер розташування експериментальних точок (див. рис. 1). Рис.1. Вигляд апроксимуючої експериментальні точки кривої. За одержаною таким чином кривою встановлюють (вибирають) вигляд наближеної функції (часто з числа простих за виглядом аналітичних функцій). Процес наближення для експериментально встановленої функціональної залежності y= f(x) за методом НК складається з двох етапів: спочатку вибирають вид формули і вже після цього визначають числові значення параметрів, для яких наближення буде найкращим. Вид формули наближення вибирають виходячи з теоретичних міркувань або з числа елементарних функцій за виглядом точкового графіку. Розглянемо метод знаходження параметрів наближеної функції в загальному вигляді на прикладі наближеної функції з трьома параметрами:
(1) Сума квадратів різниць відповідних значень функцій f(x) і
має вигляд
. Ця сума є функцією трьох змінних (параметрів
). Задача зводиться до знаходження її мінімуму. Застосуємо необхідну умову екстремуму:
;
;
. З врахуванням того, що
;
;
, одержимо систему
Розв'язавши цю систему трьох рівнянь з трьома невідомими відносно параметрів
одержимо конкретний вигляд шуканої функції
. Як видно з розглянутого прикладу, зміна кількості параметрів не міняє суті даного методу, а виразиться лише у зміні кількості рівнянь у системі (5). Природно очікувати, що значення знайденої функції
у точках х1, х2, ..., хn відрізнятимуться від табличних значень y1, y2,..., yn. Значення різниць
;
, (6) називають відхиленнями виміряних значень
від обчислених за формулою (4). Для знайденої емпіричної формули (4) по відношенню до таблиці 1 можна знайти суму квадратів відхилень
яка згідно з принципом найменших квадратів для заданого виду наближеної функції має бути найменшою. З двох різних наближень однієї і тієї ж табличної функції ліпшим є те для якого сума (7) має менше значення. Отже величину
можна використовувати для вибору найліпшої з розглядуваних функцій
, які наближують задану функцію
. При цьому слід пам'ятати, що параметр
при наближенні експериментальних даних є, по-перше, розмірною величиною і, по-друге, не дозволяє оцінити якість кожного окремого наближення. Для оцінки якості наближення можна використовувати також відносне середнє квадратичне відхилення:
При виборі вигляду функції y= f(x) за характером точкового графіку слід розглядати такі випадки: 1) вигляд точкового графіку вказує на те, що функція є монотонно-зростаючою (спадною) і не має точок перегину; 2) функція має екстремум; 3) функція має точки перегину, або точки перегину і екстремуми. У першому випадку дос...